数学の問題を解くときの「着想」ってナニ？（その2）

前回（その1）では、数学の問題を解くときの「着想」とは、

問題に書かれている「特徴」を手がかりに、「さらに分かることがないか」と考えを進めていくこと

だと説明しました。

でも、これだけ聞いてもイメージがわきにくいかもしれません。
今回は、その「特徴」って何なのか、もう少し詳しく見ていきましょう。

特徴がない問題は、そもそも解けない

まず、次のような問題を考えてみてください。

……こんな問題、どうやって解くんでしょうか？
実は、この三角形はただの「三角形」で、特に何の情報も書かれていません。
これでは、角Bの大きさを知る方法がありません。もしどうしても調べたいなら、分度器を使って測るしかありません。

でも、こんな「何の特徴もない図形」が、入試などの数学の問題に出てくることは、ほとんどありません。

裏を返すと、数学の問題には、数式でも図形でも、必ず何かしらの「特別な性質」＝特徴があるんです。

直角三角形の「特徴」を洗い出してみよう

ここで一つ質問です。たとえば三角形であれば、直角三角形は数学の問題によく登場しますよね？では、直角三角形の「特徴（＝特別な性質）」って何でしょうか？「角の一つが90°」というだけではダメですよ。

ここからは、∠Bが直角の三角形 △ABC を例にして考えてみます。あなたは特徴をいくつ挙げることができますか？

まず直角三角形なので、三平方の定理(\( AB^2+BC^2=CA^2 \))が成り立ちますね。

また、直角Bから辺ACに垂線を下した交点をDとすると、△ABD、△BCDはいずれも△ABCと相似の直角三角形になります。

さらに、ACの中点をEとすると、AE=CE=BEとなります。これは、点Bを原点にABをY軸、BCをX軸に重ねて点Aを(0, a)、点Cを（c, 0）とすると、中点Eは(\(\frac {1}{2} \) c, \(\frac {1}{2} \) a)となるので、各々の距離を計算すると分かります。

あるいは、ABCの各点を通る円（外接円）を描くと、角Bが直角であるためACは円の直径、Eは円の中心になることからもAE=CE=BE（＝円の半径）を導けます。

このほか、△ABCが以下のように∠Pと∠Qがいずれも直角の長方形などの中におさまっている場合、△APBと△CBQは相似になります（●をつけた角と〇をつけた角の和が90°になります）。これは直角三角形自体の特徴ではないのですが、他の図形と組み合わせた場合の特徴として、入試問題でもよく見かけます。

「特徴」を知っておくと着想しやすくなる

ここまで見てきたように、「この問題にはどんな特徴があるのか」を知ることは、その問題の着想につながります。

言いかえれば、特徴＝問題を解くためのヒントです。

ここで一つ、大事なことを覚えておいてください。

問題の中で与えられている特徴は、基本的にすべて使うと思っておきましょう。

特徴が2つ出てきたら2つとも、3つ出てきたら3つとも使う必要があります。
出題者が、使わないヒントをわざわざ問題に入れることは、まずありません。

「着想のタネ」でまとめていく予定です

今後このブログでは、問題に出てくる「特徴」をテーマごとに整理して、「着想のタネ」というコーナーで紹介していく予定です。

問題を見たときに、「あ、この形、あの特徴だ！」と気づけるようになると、ぐっと着想力が高まります。ぜひ楽しみにしていてください。