中学校では、 \( y=3x+7 \)といった一次関数や、\( y=\displaystyle \frac {1}{2}x^2\)といった二次関数が代表的ですよね。
一方で、\(y= \displaystyle \frac{24}{x} \)もしくは\( xy=24 \)の形で表される反比例はややマイナーで、演習問題に触れる機会が少なめという受験生も結構いるのではないでしょうか。
そこで、ここでは反比例の性質に触れたいと思います。
こちらが\(y= \displaystyle \frac{24}{x} \)のグラフです（x>0, y>0の領域のみ示しています）。
このままx軸やy軸を伸ばしても、グラフが軸に交わることはありません。
また、x座標・y座標とも整数になるのは、赤くプロットした点に限られます。
\( xy=24 \)という式の形から分かりますが、この場合のx座標・y座標は24の約数になっています。
このように、反比例の式は整数が絡む問題のヒントになる場合が少なくありません。
まあ、\( xy=24 \)のようなベタな反比例が入試で登場することはないと思いますが、
応用編として、例えば
\(xy-5x-3y-9=0\)という式は
\((x-3)(y-5)=24\)（※）に変形できるので
\(X=x-3\) 、\(Y=y-5\)とすれば、\(XY=24\)という反比例の問題になります。
ちなみにムスコには※のような変形を「因数分解くずれ」と説明していましたが、「反比例は整数の問題と絡みやすい」こととセットでマスターしておくと良いでしょう。
